\newenvironment*{dummyenv}{}{}

\subsection{应用举例}\label{subsec:15-10}

下面举例说明解斜三角形在实际中的一些应用。

\liti 自动卸货汽车的车箱采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆 $BC$ 的长度（图 \ref{fig:15-26}）。
已知车箱的最大仰角为 $60^\circ$，油泵顶点 $B$ 与车箱支点 $A$ 之间的距离为 $1.95$ 米，
$AB$ 与水平线之间的夹角为 $6^\circ20'$，$AC$ 长为 $1$ 米，计算 $BC$ 的长（保留三个有效数字）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \includegraphics[width=0.5\textwidth]{../pic/czds4-ch15-26}
    \caption{}\label{fig:15-26}
\end{figure}

分析：这个问题就是在 $\triangle ABC$ 中，已知 $AB = 1.95$ 米，$AC = 1.40$ 米，
$\angle BAC = 60^\circ +  6^\circ20' = 66^\circ20'$，求 $BC$ 的长。
由于已知 $\triangle ABC$ 的两边和一夹角，所以可根据余弦定理求出 $BC$。

\jie 由余弦定理

$\begin{aligned}
    BC^2 &= AB^2 + AC^2 - 2 AB \cdot AC \cos{A} \\
         &= 1.95^2 + 1.40^2 - 2 \times 1.95 \times 1.40 \times \cos{66^\circ20'} \juhao
\end{aligned}$

设 $u = 2 \times 1.95 \times 1.40 \times \cos{66^\circ20'}$，

两边取对数，查表并计算，得
\begin{align*}
    \lg{u} &= \lg{2} + \lg{1.95} + \lg{1.40} + \lg{\cos{66^\circ20'}} \\
           &= 0.3010 + 0.2900 + 0.1461 + \overline{1}.6036 \\
           &= 0.3407 \douhao
\end{align*}

查反对数表得
$$ u = 2.192 \juhao $$

$\therefore$ \quad $\begin{aligned}[t]
    BC^2 &= 1.95^2 + 1.40^2 - 2.192 \\
         &= 3.803 + 1.960 - 2.192 \\
         &= 3.571 \douhao
\end{aligned}$

查平方根表得
$$ BC = 1.889 \approx 1.89 \; (\mi) \juhao $$

答：顶杆 $BC$ 约长 $1.89$ 米。


\begin{wrapfigure}[10]{r}{7cm}
    \centering
    \input{../pic/czds4-ch15-27}
    \caption{}\label{fig:15-27}
\end{wrapfigure}

\liti 为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 $A$， $B$（图 \ref{fig:15-27}）。
要精确测算出 $A$， $B$ 两点间的距离，测量人员在岸边定出基线 $BC$，测得 $BC = 78.35$ 米，
角 $B = 69^\circ43'$， 角 $C = 41^\circ12'$，计算 $AB$ 的长（精确到 $0.01$ 米）。

\jie 在 $\triangle ABC$ 中，已知 $a = 78.35$， $B = 69^\circ43'$， $C = 41^\circ12'$。

$A = 180^\circ - (B + C) = 180^\circ - (69^\circ43' + 41^\circ12') = 69^\circ5'$。

由正弦定理，可得
$$ c = \dfrac{a \sin{C}}{\sin{A}} \juhao $$

两边取对数，查表并计算，得
\begin{align*}
    \lg{c} &= \lg{a} + \lg{\sin{C}} - \lg{\sin{A}} \\
           &= \lg{78.35} + \lg{\sin{41^\circ12'}} - \lg{\sin{69^\circ5'}} \\
           &= 1.8941 + \overline{1}.8187 - \overline{1}.9704 \\
           &= 1.7424 \juhao
\end{align*}

查反对数表得
$$ c = 55.26 \; (\mi) \juhao $$

答：桥位桩 $A$、$B$ 间的距离约为 $55.26$ 米。


\begin{dummyenv}
\renewcommand{\haomi}{\mathord{\text{mm}}}%毫米

\liti 图 \ref{fig:15-28} 是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄 $CB$ 绕 $C$ 点旋转时，
通过连杆 $AB$ 的传递，使活塞作直线往复运动。
当曲在 $CB_0$ 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 $A$ 在 $A_0$ 处。
设连杆 $AB$ 长 $340$ mm，曲柄 $CB$ 长 $85$ mm，
求曲柄自 $CB_0$ 按顺时针方向旋转 $80^\circ$ 时，活塞移动的距离
（即连杆的端点 $A$ 移动的距离 $A_0A$）（精确到 $1$ mm）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-28-1}
        \caption*{（1）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-28-2}
        \caption*{（2）}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:15-28}
\end{figure}



分析：因为 $A_0A = A_0C - AC$，又知 $A_0C = AB + BC = 340 + 85 = 425 (\haomi)$，
所以只要求出 $AC$ 的长，问题就解决了。
在 $\triangle ABC$ 中，已知两边和其中一边的对角，可以由正弦定理求出 $AC$。

\jie 在 $\triangle ABC$ 中，由正弦定理可得
$$ \sin{A} = \dfrac{BC \sin{C}}{AB} \juhao $$

两边取对数，查表并计算，得
\begin{align*}
    \lg{\sin{A}} &= \lg{BC} + \lg{\sin{C}} - \lg{AB} \\
                 &= \lg{85} + \lg{\sin{80^\circ}} - \lg{340} \\
                 &= 1.9294 + \overline{1}.9934 - 2.5315 \\
                 &= \overline{1}.3913 \juhao
\end{align*}

因为 $BC < AB$，所以角 $A$ 为锐角，查表可得
$$ A = 14^\circ15' \juhao $$

$\therefore$ \quad $\begin{aligned}[t]
    B &= 180^\circ - (A + C) \\
      &= 180^\circ - (14^\circ15' + 80^\circ) \\
      &= 85^\circ45' \juhao
\end{aligned}$

再由正弦定理，可得
$$ AC = \dfrac{AC \sin{B}}{\sin{C}} \juhao $$

两边取对数，查表并计算，得
\begin{align*}
    \lg{AC} &= \lg{AB} + \lg{\sin{B}} - \lg{\sin{C}} \\
            &= \lg{340} + \lg{\sin{85^\circ45'}} - \lg{\sin{80^\circ}} \\
            &= 2.5315 + \overline{1}.9988 - \overline{1}.9934 \\
            &= 2.5369 \juhao
\end{align*}

查反对数表得，得
$$ AC = 344.3 \; (\haomi) \juhao $$

因此，$\begin{aligned}[t]
    A_0A &= A_0C - AC = (AB + BC) - AC \\
         &= (340 + 85) - 344.3 \\
         &= 80.7 \approx 81 \; (\haomi) \juhao
\end{aligned}$

答：曲柄自 $CB_0$ 转 $80^\circ$ 时，活塞移动的距离约为 $81$ mm。
\end{dummyenv}


\lianxi
\begin{xiaotis}

\xiaoti{如图，为了测量两点 $A$， $B$（这两点之间不能相互看到，也不能直达）间的距离，
    在地面上选择适当的点 $C$，测得 $AC = 213.4$ 米， $BC = 252.1$ 米，
    $\angle ACB = 50^\circ13'$。计算 $AB$ 的长。
}


\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \includegraphics[width=0.6\textwidth]{../pic/czds4-ch15-subsec10-lianxi-1}
        \caption*{（第 1 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-subsec10-lianxi-2}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{如图，某零件要镗三个孔 $A$，$B$，$C$，已知孔心距 $AB = 112.5$ mm，
    $BC = 75.4$ mm, $AC = 114.2$ mm。 如果 $A$，$B$ 两孔已加工完毕，
    刀杆在 $B$ 孔处，刀杆要沿 $BA$ 方向和垂直于 $BA$ 方向各移动多少毫米
    （即求 $x$ 和 $y$，确到 $0.1$ mm），才能镗出 $C$ 孔？
}


\xiaoti{如图，要测底部不能到达的烟囱的高 $AB$，从与烟囱底部在同一水平直线上的 $C$， $D$ 两处，
    测得烟囟的仰角分别是 $\alpha = 35^\circ12'$ 和 $\beta = 49^\circ28'$，
    $CD$ 间的距离是 $11.12$ 米。已知测角仪器高 $1.52$ 米，求烟囱的高。
}

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../pic/czds4-ch15-subsec10-lianxi-3}
        \caption*{（第 3 题）}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czds4-ch15-subsec10-lianxi-4}
        \caption*{（第 4 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\xiaoti{图为曲柄连杆机构示意图。当曲柄 $OA$ 在水平位置 $OB$ 时，连杆端点 $P$ 在 $Q$ 的位置。
    当 $OA$ 自 $OB$ 按顺时针方向旋转 $\alpha$ 角时，$P$ 和 $Q$ 之间的距离是 $x$。
    已知 $OA = 25$ cm， $AP = 125$ cm，求在下列条件下的 $x$ 值（精确到 $0.1$ cm）：
}
\begin{xiaoxiaotis}

    \begin{tblr}{columns={18em, colsep=0pt}}
        \xxt{$\alpha = 50^\circ$；} & \xxt{$\alpha = 90^\circ$；} \\
        \xxt{$\alpha = 135^\circ$；} & \xxt{$OA \perp AP$。}
    \end{tblr}
\end{xiaoxiaotis}

\end{xiaotis}
